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#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:4-1-1 圆的标准方程


一、选择题

1.以(2,-1)为圆心,4 为半径的圆的方程为( ) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y-1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x-2)2+(y+1)2=16 [答案] C 2.一圆的标准方程为 x2+(y+1)2=8,则此圆的圆心与半径分别 为( )

A.(1,0),4

B.(-1,0),2 2

C.(0,1),4

D.(0,-1),2 2

[答案] D

3.方程(x-a)2+(y-b)2=0 表示的图形是( )

A.以(a,b)为圆心的圆

B.以(-a,-b)为圆心的圆

C.点(a,b)

D.点(-a,-b)

[答案] C

4.圆 C:(x- 2)2+(y+ 3)2=4 的面积等于( )

A.π

B.2π

C.4π

D.8π

[答案] C

[解析] 半径 r= 4=2,则面积 S=πr2=4π.

5.(2012~2013·安徽“江南十校”高三联考)若点 P(1,1)为圆(x

-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( )

A.2x+y-3=0

B.x-2y+1=0

C.x+2y-3=0

D.2x-y-1=0

[答案] D

[解析]

1 圆心 C(3,0),kPC=-2,又点 P 是弦 MN 的中点,∴PC⊥

MN,∴kMNkPC=-1,

∴kMN=2,∴弦 MN 所在直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1

=0.

6.已知 A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方

程是( )

A.(x+1)2+(y-3)2=29

B.(x-1)2+(y+3)2=29

C.(x+1)2+(y-3)2=116

D.(x-1)2+(y+3)2=116

[答案] B

[解析]

圆心为

AB







(1





3)









|AB| 2



1 2

?6+4?2+?-1+5?2= 29,故选 B.

7.圆(x-1)2+y2=1

的圆心到直线

y=

3 3x

的距离是(

)

1

3

A.2

B. 2

C.1

D. 3

[答案] A [解析] 先求得圆心坐标(1,0),再依据点到直线的距离公式求得

A 答案.

8.方程 y= 9-x2表示的曲线是( )

A.一条射线 C.两条射线 [答案] D

B.一个圆 D.半个圆

[解析] 方程 y= 9-x2可化为 x2+y2=9(y≥0),

所以方程 y= 9-x2表示圆 x2+y2=9 位于 x 轴上方的部分,是

半个圆.

二、填空题 9.圆(x-a)2+(y-b)2=r2 过原点,则 a、b、r 满足的关系式为 ________. [答案] a2+b2=r2

[解析] 代入(0,0)得 a2+b2=r2.

10.圆 C:(x+4)2+(y-3)2=9 的圆心 C 到直线 4x+3y-1=0

的距离等于________.

[答案]

8 5

[解析]

|-16+9-1| 8 C(-4,3),则 d= 42+32 =5.

11.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的标 准方程是________.

[答案] (x-2)2+(y+1)2=1 [解析] 圆(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心为 M(-2,1),半径 r=1,

则点 M 关于原点的对称点为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1.
12.以直线 2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一 个交点的圆的方程为__________.
[答案] x2+(y-4)2=20 或(x-2)2+y2=20 [解析] 令 x=0 得 y=4,令 y=0 得 x=2,

∴直线与两轴交点坐标为 A(0,4)和 B(2,0),以 A 为圆心过 B 的圆 方程为 x2+(y-4)2=20,
以 B 为圆心过 A 的圆方程为(x-2)2+y2=20. 三、解答题 13.求过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心 C 在直线 x+y-2=0 上的圆的标准方程.
?x-y=0, [解析] AB 的中垂线方程是 x-y=0,解方程组?
?x+y-2=0,

?x=1,

得?

即圆心 C(1,1),则半径 r=|AC|=2,所以圆的标准方程

?y=1,

是(x-1)2+(y-1)2=4.

14.圆过点 A(1,-2),B(-1,4),求 (1)周长最小的圆的方程;

(2)圆心在直线 2x-y-4=0 上的圆的方程. [解析] (1)当 AB 为直径时,过 A、B 的圆的半径最小,从而周 长最小.即 AB 中点(0,1)为圆心,半径 r=21|AB|= 10.则圆的方程为: x2+(y-1)2=10.

(2)解法 1:AB 的斜率为 k=-3,则 AB 的垂直平分线的方程是 y -1=13x.即 x-3y+3=0

?x-3y+3=0, 由?
?2x-y-4=0.

?x=3, 得?
?y=2.

即圆心坐标是 C(3,2).

r=|AC|= ?3-1?2+?2+2?2=2 5. ∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

解法 2:待定系数法 设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2.

???1-a?2+?-2-b?2=r2, ? 则 ?-1-a?2+?4-b?2=r2,
??2a-b-4=0.

??a=3, ? ? b=2,
??r2=20.

∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.
[点评] ∵圆心在直线 2x-y-4=0 上,故可设圆心坐标为 C(x0,2x0-4),∵A,B 在圆上,∴|CA|=|CB|可求 x0,即可求得圆的方 程,自己再用此思路解答一下.

15.(2012~2013·台州高一检测)已知圆 N 的标准方程为 (x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求 a 的值; (2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3),线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只 有一个公共点,求 a 的取值范围. [解析] (1)因为点 M 在圆上, 所以(6-5)2+(9-6)2=a2,
又由 a>0,可得 a= 10;
(2)由两点间距离公式可得 |PN|= ?3-5?2+?3-6?2= 13, |QN|= ?5-5?2+?3-6?2=3,
因为线段 PQ 与圆有且只有一个公共点,即 P、Q 两点一个在圆
内、另一个在圆外,因为 3< 13,所以 3<a< 13.即 a 的取值范围是
(3, 13). 16.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所
在直线的方程为 x-3y-6=0,点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上.

(1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程. [解析] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,且 AD 与

AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为-3.

又因为点 T(-1,1)在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为 y

-1=-3(x+1),即 3x+y+2=0.

?x-3y-6=0,

(2)由?

解得点 A 的坐标为(0,-2).

?3x+y+2=0,

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0).

所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.

又|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2, 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.



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