#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：4-1-1 圆的标准方程

一、选择题

1．以(2，－1)为圆心，4 为半径的圆的方程为( ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 [答案] C 2．一圆的标准方程为 x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别 为( )

A．(1,0)，4

B．(－1,0)，2 2

C．(0,1)，4

D．(0，－1)，2 2

[答案] D

3．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0 表示的图形是( )

A．以(a，b)为圆心的圆

B．以(－a，－b)为圆心的圆

C．点(a，b)

D．点(－a，－b)

[答案] C

4．圆 C：(x－ 2)2＋(y＋ 3)2＝4 的面积等于( )

A．π

B．2π

C．4π

D．8π

[答案] C

[解析] 半径 r＝ 4＝2，则面积 S＝πr2＝4π.

5．(2012～2013·安徽“江南十校”高三联考)若点 P(1,1)为圆(x

－3)2＋y2＝9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为( )

A．2x＋y－3＝0

B．x－2y＋1＝0

C．x＋2y－3＝0

D．2x－y－1＝0

[答案] D

[解析]

1 圆心 C(3,0)，kPC＝－2，又点 P 是弦 MN 的中点，∴PC⊥

MN，∴kMNkPC＝－1，

∴kMN＝2，∴弦 MN 所在直线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1

＝0.

6．已知 A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段 AB 为直径的圆的方

程是( )

A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29

B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29

C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116

D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116

[答案] B

[解析]

圆心为

AB

的

中

点

(1

，

－

3)

，

半

径

为

|AB| 2

＝

1 2

?6＋4?2＋?－1＋5?2＝ 29，故选 B.

7．圆(x－1)2＋y2＝1

的圆心到直线

y＝

3 3x

的距离是(

)

1

3

A.2

B. 2

C．1

D. 3

[答案] A [解析] 先求得圆心坐标(1,0)，再依据点到直线的距离公式求得

A 答案．

8．方程 y＝ 9－x2表示的曲线是( )

A．一条射线 C．两条射线 [答案] D

B．一个圆 D．半个圆

[解析] 方程 y＝ 9－x2可化为 x2＋y2＝9(y≥0)，

所以方程 y＝ 9－x2表示圆 x2＋y2＝9 位于 x 轴上方的部分，是

半个圆．

二、填空题 9．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 过原点，则 a、b、r 满足的关系式为 ________． [答案] a2＋b2＝r2

[解析] 代入(0,0)得 a2＋b2＝r2.

10．圆 C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9 的圆心 C 到直线 4x＋3y－1＝0

的距离等于________．

[答案]

8 5

[解析]

|－16＋9－1| 8 C(－4,3)，则 d＝ 42＋32 ＝5.

11．若圆 C 与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1 关于原点对称，则圆 C 的标 准方程是________．

[答案] (x－2)2＋(y＋1)2＝1 [解析] 圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1 的圆心为 M(－2,1)，半径 r＝1，

则点 M 关于原点的对称点为 C(2，－1)，圆 C 的半径也为 1，则圆 C 的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
12．以直线 2x＋y－4＝0 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一 个交点的圆的方程为__________．
[答案] x2＋(y－4)2＝20 或(x－2)2＋y2＝20 [解析] 令 x＝0 得 y＝4，令 y＝0 得 x＝2，

∴直线与两轴交点坐标为 A(0,4)和 B(2,0)，以 A 为圆心过 B 的圆 方程为 x2＋(y－4)2＝20，
以 B 为圆心过 A 的圆方程为(x－2)2＋y2＝20. 三、解答题 13．求过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心 C 在直线 x＋y－2＝0 上的圆的标准方程．
?x－y＝0， [解析] AB 的中垂线方程是 x－y＝0，解方程组?
?x＋y－2＝0，

?x＝1，

得?

即圆心 C(1,1)，则半径 r＝|AC|＝2，所以圆的标准方程

?y＝1，

是(x－1)2＋(y－1)2＝4.

14．圆过点 A(1，－2)，B(－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程；

(2)圆心在直线 2x－y－4＝0 上的圆的方程． [解析] (1)当 AB 为直径时，过 A、B 的圆的半径最小，从而周 长最小．即 AB 中点(0,1)为圆心，半径 r＝21|AB|＝ 10.则圆的方程为： x2＋(y－1)2＝10.

(2)解法 1：AB 的斜率为 k＝－3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y －1＝13x.即 x－3y＋3＝0

?x－3y＋3＝0， 由?
?2x－y－4＝0.

?x＝3， 得?
?y＝2.

即圆心坐标是 C(3,2)．

r＝|AC|＝ ?3－1?2＋?2＋2?2＝2 5. ∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.

解法 2：待定系数法 设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

???1－a?2＋?－2－b?2＝r2， ? 则 ?－1－a?2＋?4－b?2＝r2，
??2a－b－4＝0.

??a＝3， ? ? b＝2，
??r2＝20.

∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
[点评] ∵圆心在直线 2x－y－4＝0 上，故可设圆心坐标为 C(x0,2x0－4)，∵A，B 在圆上，∴|CA|＝|CB|可求 x0，即可求得圆的方 程，自己再用此思路解答一下．

15．(2012～2013·台州高一检测)已知圆 N 的标准方程为 (x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点 M(6,9)在圆上，求 a 的值； (2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3)，线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只 有一个公共点，求 a 的取值范围． [解析] (1)因为点 M 在圆上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又由 a>0，可得 a＝ 10；
(2)由两点间距离公式可得 |PN|＝ ?3－5?2＋?3－6?2＝ 13， |QN|＝ ?5－5?2＋?3－6?2＝3，
因为线段 PQ 与圆有且只有一个公共点，即 P、Q 两点一个在圆
内、另一个在圆外，因为 3< 13，所以 3<a< 13.即 a 的取值范围是
(3， 13)． 16．如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0)，AB 边所
在直线的方程为 x－3y－6＝0，点 T(－1,1)在 AD 边所在的直线上．

(1)求 AD 边所在直线的方程； (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程． [解析] (1)因为 AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，且 AD 与

AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为－3.

又因为点 T(－1,1)在直线 AD 上，所以 AD 边所在直线的方程为 y

－1＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋2＝0.

?x－3y－6＝0，

(2)由?

解得点 A 的坐标为(0，－2)．

?3x＋y＋2＝0，

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0)．

所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心．

又|AM|＝ ?2－0?2＋?0＋2?2＝2 2， 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.