2019_2020学年高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1

§1 变化的快慢与变化率
[对应学生用书P34]

平均变化率

某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：

x(min)

0

10

20 30 40

50

60

y(℃)

39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8

问题 1：试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况，哪段 时间体温变化较快？
提示：从 20 min 到 30 min 变化快． 问题 2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题 3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．

平均变化率

(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为

f(x2)，它的平均变化率为f

x2 －f x1 x2－x1

.

其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作 Δ x，函数值的变化 f(x2)－f(x1)

称作函数值的改变量，记作 Δ y.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与

自变量的改变量之比，即ΔΔ

yf x＝

x2 －f x1 x2－x1

.

(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.

瞬时变化率

王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速 70 km/h 的路段 超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长 60 km，我 们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”
问题 1：限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗？

提示：不是，是指瞬时速度． 问题 2：瞬时速度与平均速度有何区别？ 提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时 间内运动的快慢． 问题 3：王先生在该路段平均速度为 60 km/h，是否可能超速行驶？ 提示：有可能．

瞬时变化率

(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，设 Δ x＝x1－x0，

Δ

y

＝

f(x1)

－

f(x0)

，

则

函

数

的

平

均

变

化

率

是

Δy Δx

＝

f

x1 －f x0 x1－x0

＝

f

x0＋Δ x －f Δx

x0

.而当 Δ x 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．

(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．

1.ΔΔ

yf x＝

x0＋Δ x －f Δx

x0

为平均变化率，其中 Δ x 可正、可负，不能为零．

2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值．

[对应学生用书P35]

求平均变化率

[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δ x 之间的平均变化率，并计算当 x0＝1，Δ x＝12时平

均变化率的值．

[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相

应平均变化率的值．

[精解详析] Δ y＝f(x0＋Δ x)－f(x0)

＝(x0＋Δ x)3－x30

＝3x20Δ x＋3x0(Δ x)2＋(Δ x)3，

∴函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δ x 之间的平均变化率为：

Δ Δ

yx＝3x20＋3x0Δ

x＋(Δ

x)2.

当 x0＝1，Δ x＝12时，

平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋(12)2＝149.

[一点通]

求平均变化率的步骤是：

(1)先计算函数值的改变量 Δ y＝f(x1)－f(x0)；

(2)再计算自变量的改变量 Δ x＝x1－x0；

(3)求平均变化率ΔΔ

yf x＝

x1 －f x0 x1－x0

.

1．在平均变化率的定义中，自变量的增量 Δ x 满足( )

A．Δ x＞0

B．Δ x＜0

C．Δ x≠0

D．Δ x＝0

答案：C

2．一物体的运动方程是 s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )

A．0.41

B．3

C．4

D．4.1

解析：Δ Δ

s 3＋2.12－ ＋22

t＝

2.1－2

＝4.1.

答案：D

3．求函数 y＝f(x)＝－2x2＋5 在区间[2,2＋Δ x]内的平均变化率．

解：∵Δ y＝f(2＋Δ x)－f(2) ＝－2(2＋Δ x)2＋5－(－2×22＋5) ＝－8Δ x－2(Δ x)2，

∴ΔΔ

y x＝－8－2Δ

x.

即平均变化率为－8－2Δ x.

求瞬时变化率

[例 2] 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s 时的高度 s 与 t 的函数关系为 s＝v0t

－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．

[思路点拨] 本题可先求物体在 t0 到 t0＋Δ t 之间的平均速度，然后求当 Δ t 趋于 0 时 的瞬时速度．

[精解详析]

∵Δ

s ＝ v0(t0 ＋ Δ

t)

－

1 2

g(t0

＋

Δ

t)2－???v0t0－21gt20??? ＝(v0 －gt0)Δ

t－

1 2

g(Δ t)2，

∴ΔΔ st＝v0－gt0－12gΔ t.

当

Δ

t

趋于

0

时，ΔΔ

s t趋于

v0－gt0，故物体在时刻

t0 处的瞬时速度为

v0－gt0.

[一点通]

求函数 y＝f(x)在 x0 处的瞬时变化率，可以先求函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δ x 处的平均

变化率，再求当 Δ x 趋于 0 时平均变化率的值，即为函数 y＝f(x)在 x0 处的瞬时变化率．

4．一个物体的运动方程为 s＝1－t，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3

秒末的瞬时速度是( )

A．1 米/秒

B．－1 米/秒

C．2 米/秒

D．－2 米/秒

解析：由ΔΔ

s [1－ t＝

＋Δ t － Δt

－

＝－ΔΔtt＝－1，得物体在 3 秒末的瞬时速度

是－1 米/秒．

答案：B

5．求函数 f(x)＝x2－3 在 x＝1 处的瞬时变化率．

解：∵Δ y＝f(1＋Δ x)－f(1)＝[(1＋Δ x)2－3]－(12－3)＝(Δ x)2＋2Δ x－2＋2＝

(Δ x)2＋2Δ x，

∴Δ Δ

yx＝

Δ

x Δ

2＋2Δ x

x＝Δ

x＋2.

当

Δ

x

趋于

0

时，ΔΔ

y x趋于

2.

所以函数 y＝x2－3 在 x＝1 时的瞬时变化率为 2.

1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δ x]上变化的快慢． 2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢． 3．Δ x 趋于 0 时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．

[对应课时跟踪训练 十一

1．在曲线

y＝x2＋1

上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δ

x，2＋Δ

y)，则Δ Δ

yx＝(

)

A．Δ

x＋Δ

1 x＋2

B．Δ x－Δ1x－2

C．Δ x＋2

D．2＋Δ x－Δ1x

解析：Δ y＝f(1＋Δ x)－f(1)＝(1＋Δ x)2＋1－(12＋1)＝(Δ x)2＋2Δ x，

∴Δ Δ

yx＝Δ

x＋2.

答案：C

2．某质点的运动规律为 s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δ t)内的平均速度等于( )

A．6＋Δ t

B．6＋Δ t＋Δ9t

C．3＋Δ t

D．9＋Δ t

解析：－v ＝Δ Δ

st＝s

＋Δ t －s Δt

＝

＋Δ t 2＋3]－ Δt

2＋

＝6＋Δ t.

答案：A

3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式

为 s＝18t2，则 t＝2 时，此木头在水平方向的瞬时速度为(

)

A．2

B．1

1

1

C.2

D.4

解析：因为

Δ

s＝18(2＋Δ

t)2－18×22＝12Δ

t＋18(Δ

t)2，所以Δ Δ

st＝12＋18Δ

t，当

Δ

t

趋于

0 时，12＋18Δ t 趋于12，因此 t＝2 时，木块在水平方向瞬时速度为12.

答案：C

4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按

顺序与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像相对应的一项是( )

A．①②③④

B．②①③④

C．②①④③

D．②④①③

解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增

加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在

开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选 C.

答案：C

5．函数 f(x)＝ln x＋1 从 e 到 e2 的平均变化率为________．

解析：Δ y＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，

Δ x＝e2－e，

∴ΔΔ

y1 x＝e2－e.

1 答案：e2－e

6．质点的运动方程是 s(t)＝t12，则质点在 t＝2 时的速度为________．

解析：Δ Δ

st＝s

＋Δ t －s Δt

1

1

＋Δ t 2－4

＝

Δt

＝－

4＋Δ t ＋Δ t

2，当 Δ t 趋于 0 时，ΔΔ st＝－14.

答案：－14

7．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s) 的函数关系为 h(t)＝－5t2＋6t＋10.

(1)求该运动员从时间 t＝1 到时间 t＝3 的平均速度；

(2)求该运动员在时间 t＝1 处的瞬时速度． 解：(1)由 h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间 t＝1 到时间 t＝3 的平均速度：

Δ Δ

hh t＝

－h 3－1

＝－14.

故该运动员从时间 t＝1 到时间 t＝3 的平均速度为－14 m/s；

(2)∵ΔΔ ht＝h

＋Δ t －h Δt

＝[－

＋Δ t 2＋

＋Δ t ＋10]－ －5×12＋6×1＋ Δt

－ ＝

Δ t 2－ Δt

Δt

＝－5·Δ t－4，

∴当

Δ

t

趋于

0

时，ΔΔ

h t趋于－4，

即该运动员在时间 t＝1 处的瞬时速度为－4 m/s.

8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)

s＝???3t2＋2， ??29＋ t－

t 2，

， t＜

① ②

求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度；

(2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．

解：(1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δ t＝5－3＝2，物体在 t∈[3,5]内的位

移变化量为

Δ s＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，

∴物体在

t∈[3,5]上的平均速度为Δ Δ

ts＝428＝24(m/s)．

(2)求物休的初速度 v0 即求物体在 t＝0 的瞬时速度． .∵物体在 t＝0 附近的平均变化率为

Δ Δ

st＝f

＝29＋

＋Δ t －f Δt
＋Δ t －3]2－29－ Δt

－

2
＝3Δ t－18，

∴当

Δ

t

趋于

0

时，ΔΔ

s t趋于－18，

即物体的初速度为－18 m/s.

(3)物体在 t＝1 时瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率．

∵物体在 t＝1 附近的平均变化率为

Δ Δ

st＝f

＝29＋

＋Δ t －f Δt
＋Δ t －3]2－29－ Δt

－

2
＝3Δ t－12.

∴当

Δ

t

趋于

0

时，ΔΔ

s t趋于－12，

即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.