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2019_2020学年高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1


§1 变化的快慢与变化率
[对应学生用书P34]

平均变化率

某病人吃完退烧药,他的体温变化如下:

x(min)

0

10

20 30 40

50

60

y(℃)

39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.8

问题 1:试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况,哪段 时间体温变化较快?
提示:从 20 min 到 30 min 变化快. 问题 2:如何刻画体温变化的快慢? 提示:用平均变化率. 问题 3:平均变化率一定为正值吗? 提示:不一定.可正,可负,可为零.

平均变化率

(1)定义:对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为

f(x2),它的平均变化率为f

x2 -f x1 x2-x1

.

其中自变量的变化 x2-x1 称作自变量的改变量,记作 Δ x,函数值的变化 f(x2)-f(x1)

称作函数值的改变量,记作 Δ y.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与

自变量的改变量之比,即ΔΔ

yf x=

x2 -f x1 x2-x1

.

(2)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.

瞬时变化率

王先生于近日接到了一份交通违规处罚单,原因是上月某周日在一限速 70 km/h 的路段 超速行驶.王先生正上初中的儿子说:“一定是交警叔叔搞错了,那段路正好长 60 km,我 们用了一个小时,您当时还问我这段路我们的平均速度呢!”
问题 1:限速 70 km/h 是指的平均速度不超过 70 km/h 吗?

提示:不是,是指瞬时速度. 问题 2:瞬时速度与平均速度有何区别? 提示:瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢;平均速度刻画的是物体在一段时 间内运动的快慢. 问题 3:王先生在该路段平均速度为 60 km/h,是否可能超速行驶? 提示:有可能.

瞬时变化率

(1)定义:对于一般的函数 y=f(x),在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中,设 Δ x=x1-x0,

Δ

y



f(x1)



f(x0)























Δy Δx



f

x1 -f x0 x1-x0



f

x0+Δ x -f Δx

x0

.而当 Δ x 趋于 0 时,平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率.

(2)作用:刻画函数在一点处变化的快慢.

1.ΔΔ

yf x=

x0+Δ x -f Δx

x0

为平均变化率,其中 Δ x 可正、可负,不能为零.

2.瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值.

[对应学生用书P35]

求平均变化率

[例 1] 求函数 y=x3 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率,并计算当 x0=1,Δ x=12时平

均变化率的值.

[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率,先求出表达式,再代入数据,就可以求出相

应平均变化率的值.

[精解详析] Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)

=(x0+Δ x)3-x30

=3x20Δ x+3x0(Δ x)2+(Δ x)3,

∴函数 y=x3 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率为:

Δ Δ

yx=3x20+3x0Δ

x+(Δ

x)2.

当 x0=1,Δ x=12时,

平均变化率的值为 3×12+3×1×12+(12)2=149.

[一点通]

求平均变化率的步骤是:

(1)先计算函数值的改变量 Δ y=f(x1)-f(x0);

(2)再计算自变量的改变量 Δ x=x1-x0;

(3)求平均变化率ΔΔ

yf x=

x1 -f x0 x1-x0

.

1.在平均变化率的定义中,自变量的增量 Δ x 满足( )

A.Δ x>0

B.Δ x<0

C.Δ x≠0

D.Δ x=0

答案:C

2.一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )

A.0.41

B.3

C.4

D.4.1

解析:Δ Δ

s 3+2.12- +22

t=

2.1-2

=4.1.

答案:D

3.求函数 y=f(x)=-2x2+5 在区间[2,2+Δ x]内的平均变化率.

解:∵Δ y=f(2+Δ x)-f(2) =-2(2+Δ x)2+5-(-2×22+5) =-8Δ x-2(Δ x)2,

∴ΔΔ

y x=-8-2Δ

x.

即平均变化率为-8-2Δ x.

求瞬时变化率

[例 2] 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体,t s 时的高度 s 与 t 的函数关系为 s=v0t

-12gt2,求物体在时刻 t0 处的瞬时速度.

[思路点拨] 本题可先求物体在 t0 到 t0+Δ t 之间的平均速度,然后求当 Δ t 趋于 0 时 的瞬时速度.

[精解详析]

∵Δ

s = v0(t0 + Δ

t)



1 2

g(t0



Δ

t)2-???v0t0-21gt20??? =(v0 -gt0)Δ

t-

1 2

g(Δ t)2,

∴ΔΔ st=v0-gt0-12gΔ t.



Δ

t

趋于

0

时,ΔΔ

s t趋于

v0-gt0,故物体在时刻

t0 处的瞬时速度为

v0-gt0.

[一点通]

求函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率,可以先求函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δ x 处的平均

变化率,再求当 Δ x 趋于 0 时平均变化率的值,即为函数 y=f(x)在 x0 处的瞬时变化率.

4.一个物体的运动方程为 s=1-t,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3

秒末的瞬时速度是( )

A.1 米/秒

B.-1 米/秒

C.2 米/秒

D.-2 米/秒

解析:由ΔΔ

s [1- t=

+Δ t - Δt



=-ΔΔtt=-1,得物体在 3 秒末的瞬时速度

是-1 米/秒.

答案:B

5.求函数 f(x)=x2-3 在 x=1 处的瞬时变化率.

解:∵Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=[(1+Δ x)2-3]-(12-3)=(Δ x)2+2Δ x-2+2=

(Δ x)2+2Δ x,

∴Δ Δ

yx=

Δ

x Δ

2+2Δ x

x=Δ

x+2.



Δ

x

趋于

0

时,ΔΔ

y x趋于

2.

所以函数 y=x2-3 在 x=1 时的瞬时变化率为 2.

1.平均变化率刻画的是函数值在区间[x0,x0+Δ x]上变化的快慢. 2.瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢. 3.Δ x 趋于 0 时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率.

[对应课时跟踪训练 十一

1.在曲线

y=x2+1

上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δ

x,2+Δ

y),则Δ Δ

yx=(

)

A.Δ

x+Δ

1 x+2

B.Δ x-Δ1x-2

C.Δ x+2

D.2+Δ x-Δ1x

解析:Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=(1+Δ x)2+1-(12+1)=(Δ x)2+2Δ x,

∴Δ Δ

yx=Δ

x+2.

答案:C

2.某质点的运动规律为 s=t2+3,则在时间段(3,3+Δ t)内的平均速度等于( )

A.6+Δ t

B.6+Δ t+Δ9t

C.3+Δ t

D.9+Δ t

解析:-v =Δ Δ

st=s

+Δ t -s Δt



+Δ t 2+3]- Δt

2+

=6+Δ t.

答案:A

3.一块木头沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式

为 s=18t2,则 t=2 时,此木头在水平方向的瞬时速度为(

)

A.2

B.1

1

1

C.2

D.4

解析:因为

Δ

s=18(2+Δ

t)2-18×22=12Δ

t+18(Δ

t)2,所以Δ Δ

st=12+18Δ

t,当

Δ

t

趋于

0 时,12+18Δ t 趋于12,因此 t=2 时,木块在水平方向瞬时速度为12.

答案:C

4.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,按

顺序与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像相对应的一项是( )

A.①②③④

B.②①③④

C.②①④③

D.②④①③

解析:以第二个容器为例,由于容器上细下粗,所以水以恒速注入时,开始阶段高度增

加得慢,以后高度增加得越来越快,反映在图像上,①符合上述变化情况.而第三个容器在

开始时高度增加快,后来时高度增加慢,图像④适合上述变化情况.故应选 C.

答案:C

5.函数 f(x)=ln x+1 从 e 到 e2 的平均变化率为________.

解析:Δ y=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=1,

Δ x=e2-e,

∴ΔΔ

y1 x=e2-e.

1 答案:e2-e

6.质点的运动方程是 s(t)=t12,则质点在 t=2 时的速度为________.

解析:Δ Δ

st=s

+Δ t -s Δt

1

1

+Δ t 2-4



Δt

=-

4+Δ t +Δ t

2,当 Δ t 趋于 0 时,ΔΔ st=-14.

答案:-14

7.设某跳水运动员跳水时,相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s) 的函数关系为 h(t)=-5t2+6t+10.

(1)求该运动员从时间 t=1 到时间 t=3 的平均速度;

(2)求该运动员在时间 t=1 处的瞬时速度. 解:(1)由 h(t)=-5t2+6t+10,得该运动员从时间 t=1 到时间 t=3 的平均速度:

Δ Δ

hh t=

-h 3-1

=-14.

故该运动员从时间 t=1 到时间 t=3 的平均速度为-14 m/s;

(2)∵ΔΔ ht=h

+Δ t -h Δt

=[-

+Δ t 2+

+Δ t +10]- -5×12+6×1+ Δt

- =

Δ t 2- Δt

Δt

=-5·Δ t-4,

∴当

Δ

t

趋于

0

时,ΔΔ

h t趋于-4,

即该运动员在时间 t=1 处的瞬时速度为-4 m/s.

8.若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)

s=???3t2+2, ??29+ t-

t 2,

, t<

① ②

求:(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度;

(2)物体的初速度 v0; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度.

解:(1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δ t=5-3=2,物体在 t∈[3,5]内的位

移变化量为

Δ s=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,

∴物体在

t∈[3,5]上的平均速度为Δ Δ

ts=428=24(m/s).

(2)求物休的初速度 v0 即求物体在 t=0 的瞬时速度. .∵物体在 t=0 附近的平均变化率为

Δ Δ

st=f

=29+

+Δ t -f Δt
+Δ t -3]2-29- Δt



2
=3Δ t-18,

∴当

Δ

t

趋于

0

时,ΔΔ

s t趋于-18,

即物体的初速度为-18 m/s.

(3)物体在 t=1 时瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率.

∵物体在 t=1 附近的平均变化率为

Δ Δ

st=f

=29+

+Δ t -f Δt
+Δ t -3]2-29- Δt



2
=3Δ t-12.

∴当

Δ

t

趋于

0

时,ΔΔ

s t趋于-12,

即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.



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